Zahlensysteme umrechnen
Jede Basis von 2 bis 36, mit jedem Rechenschritt

So hilft Ihnen das Tool, Zahlensysteme umrechnen zu können

Dieses Tool nimmt eine Zahl und schreibt sie gleichzeitig in jeder gängigen Basis. Tippen Sie 255, dann sehen Sie 11111111 in Binär, 377 in Oktal und FF in Hex. Tippen Sie stattdessen 0xFF, erkennt der Umrechner das Präfix und liest die Zahl ohne weitere Angabe als Hex.

Es funktioniert mit Zahlen jeder Länge. Die meisten Online-Umrechner runden alles über etwa sechzehn Ziffern stillschweigend, weil sie gewöhnliche Gleitkommazahlen nutzen. Dieses Tool rechnet dagegen exakt mit ganzen Zahlen, sodass eine 40-stellige ID oder ein 128-Bit-Schlüssel bis zur letzten Ziffer stimmt.

Über die reine Umrechnung hinaus zeigt es, was Entwickler und Lernende meist als Nächstes brauchen: das Zweierkomplement für vorzeichenbehaftete Ganzzahlen, die Zahl der Bits und Bytes, passende Ganzzahltypen und den Rechenweg Schritt für Schritt.

Wie Zahlensysteme funktionieren

Zunächst ist eine Basis einfach die Zahl der verschiedenen Ziffern eines Systems. Dezimal hat zehn, von 0 bis 9. Binär hat zwei, 0 und 1. Hexadezimal hat sechzehn, deshalb leiht es sich nach der 9 die Buchstaben A bis F. Oktal hat acht, von 0 bis 7.

In jeder Basis ist jede Stelle so viel wert wie die Basis mal die Stelle rechts davon. In Dezimal sind die Stellen 1, 10, 100 und so weiter. In Binär sind sie 1, 2, 4, 8, 16. Folglich bedeutet 1011 in Binär 8 + 0 + 2 + 1, also 11 in Dezimal.

Binär in Dezimal, Hex in Dezimal und zurück

Die zwei meistgesuchten Umrechnungen sind Binär in Dezimal und Hex in Dezimal. Beide funktionieren hier gleich: Zahl eintippen, ihre Basis wählen oder ein Präfix 0b oder 0x entscheiden lassen, und schon erscheinen alle anderen Basen.

Bei langen Binärzahlen teilt der Gruppierungsschalter die Ziffern in Viererblöcke, die jeweils einer Hex-Ziffer entsprechen. Dadurch ist 1101 1110 1010 1101 viel leichter zu prüfen als eine durchgehende Reihe aus Einsen und Nullen, und man sieht sofort, dass die Hex-Form DEAD ist.

Zweierkomplement für vorzeichenbehaftete Ganzzahlen

Computer speichern negative ganze Zahlen im sogenannten Zweierkomplement. Das höchste Bit dient als Vorzeichen, und die übrigen werden umgekehrt und verschoben, damit die Addition weiter funktioniert. Folglich ist -1 in einem 8-Bit-Byte 11111111, nicht 10000001.

Der Umrechner zeigt diese Form mit 8, 16, 32 und 64 Bit, in Binär und Hex. Ist eine Zahl für eine Breite zu groß, sagt die Zeile das, statt ein falsches Muster zu zeigen. Für eine tiefere Erklärung führt der Wikipedia-Artikel zum Zweierkomplement durch die Rechnung.

Brüche, exakt bis zur letzten Ziffer

Auch Zahlen mit Komma werden umgerechnet. Zum Beispiel ist 10.625 in Dezimal genau 1010.101 in Binär. Manche Brüche enden jedoch in einer anderen Basis nie. Die Dezimalzahl 0.1 wird in Binär zu 0.000110011… und wiederholt sich endlos.

Statt eine solche Zahl ohne Warnung abzuschneiden, findet der Umrechner den sich wiederholenden Block und setzt ihn in Klammern: 0.0(0011). Das ist übrigens auch der Grund, warum 0.1 + 0.2 in den meisten Programmiersprachen nicht genau 0.3 ergibt, denn der Computer muss diesen endlosen Binärbruch irgendwo runden.

Warum Programmierer Hexadezimal lieben

Eine Hex-Ziffer steht für genau vier Bits, deshalb ergeben zwei Hex-Ziffern ein Byte. Darum schreibt man Farben als #FF8800, Speicheradressen als 0x7FFF und Dateisignaturen als 89 50 4E 47. Hex ist kurz genug zum Lesen und passt trotzdem sauber zu den Bits darunter.

Hex in Dezimal und Binär in Dezimal im Arbeitsalltag

Webdesigner rechnen täglich Hex in Dezimal um, denn eine Farbe wie #1B5FD1 besteht aus drei Hex-Bytes: 27, 95 und 209 für Rot, Grün und Blau. Netzwerkleute rechnen dagegen Binär in Dezimal, wenn sie Subnetzmasken lesen, denn 255.255.255.0 sind einfach vierundzwanzig Einsen und danach acht Nullen.

Programmierer lesen wiederum Fehlercodes, Speicherauszüge und Dateiköpfe in Hex. Wenn ein Log also 0x80070005 meldet, zeigt die Eingabe hier sofort den Dezimalwert und das Bitmuster. Ebenso können Lernende ihre Hausaufgaben mit dem Rechenweg unten vergleichen.

Jede Rechenoperation offenlegen

Lehrkräfte wollen jedoch meist den Weg sehen, nicht nur das Ergebnis. Öffnen Sie den Rechenweg, dann zeigt der Umrechner die klassische wiederholte Division: durch die Zielbasis teilen, den Rest notieren und mit dem Quotienten weitermachen. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die Ziffern.

Mit dem Menü Auch zeigen wählen Sie, welche Basis der Rechenweg nutzt. So deckt dieselbe Seite Hausaufgaben von Dezimal in Binär, von Dezimal in Hex und sogar Übungen zur Basis 7 ab.

Basisumrechnung im Code

Tatsächlich rechnen die meisten Sprachen Basen in einer Zeile um. In JavaScript liest parseInt("ff", 16) Hex, und (255).toString(2) schreibt Binär. Für Zahlen über 2 hoch 53 nutzen Sie jedoch BigInt, sonst stimmen die letzten Ziffern nicht.

Python hat int("ff", 16) sowie bin(), oct() und hex(). PHP bietet base_convert(), das bei sehr großen Zahlen ebenfalls ungenau wird. Brauchen Sie also schnell eine verlässliche Antwort, ist diese Seite die einfachere Prüfung.